Achille piè veloce insegue la tartaruga che si trova davanti a lui ad una distanza d₀. Per raggiungerla Achille dovrà prima percorrere questa distanza, ma intanto la tartaruga avrà percorso un altro tratto d₁; e quando Achille avrà percorso questo secondo tratto, la tartaruga avrà percorso un altro tratto d₂  e così all’infinito. Pertanto Achille non raggiungerà mai la tartaruga, nonostante sia molto più veloce di lei.

Schematizziamo la situazione in questo modo: per semplicità supponiamo che Achille si muova con velocità di 10 m/s e la tartaruga con velocità di 1 m/s (questi valori non sono molto realistici, ma ci permettono di eseguire i calcoli più rapidamente).

All’istante t = 0 secondi, supponiamo che la tartaruga abbia un vantaggio su Achille di 10 metri.

Dopo un secondo Achille ha percorso 10 metri e la tartaruga 1 metro, quindi la tartaruga è in vantaggio su Achille di 1 metro.

Quando Achille avrà percorso questo metro di vantaggio della tartaruga (da lui coperto in 1,1 secondo), la tartaruga ha già percorso1,1 metro e ha un vantaggio su Achille di 0,1 metro; Quando Achille avrà percorso questo 0,1 metro la tartaruga  è già a 1,11 metri e così via.

Riassumiamo il tutto in una tabella.

Osserviamo che la tartaruga è sempre in vantaggio su Achille e sembrerebbe che non sia possibile raggiungerla.

Sappiamo però dalla legge del moto rettilineo uniforme s = vt + s₀ che questo è falso.

 Infatti: legge oraria di Achille           s_A  = 10t

            legge oraria della tartaruga    s_T  = 1t + 10

Achille raggiungerà la tartaruga quando s_A = s_T  cioè quando 10t = 1t + 10, risolvendo questa equazione si ottiene t =  secondi.

Dove sta la contraddizione? Il ragionamento di Zenone si fonda essenzialmente sull’ipotesi che, immaginando di proseguire all’infinito, gli ultimi valori della tabella sarebbero infiniti. Eppure abbiamo determinato che Achille raggiunge la tartaruga in un tempo finito.

Guardando la tabella si nota che gli intervalli successivi di tempo non sono tutti uguali,ma ogni intervallo è dieci volte più piccolo del precedente. Ci poniamo allora la domanda la somma di infiniti termini può avere valore finito?

La risposta è sì, purché questi termini decrescano abbastanza rapidamente.

Infatti sommiamo tutti i tempi   (1,1 periodico)

Dalla formula della scuola media che permette di passare da un numero decimale periodico a una frazione abbiamo  che è lo stesso risultato cinematico che abbiamo precedentemente trovato.

La dimostrazione della formula della scuola media può essere fatta solo in quinta liceo dopo aver studiato l’analisi e aver fatto le serie numeriche. Le serie numeriche sono somme di infiniti termini che possono essere finite, infinite o oscillanti.