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blog di filosofia

il paradosso di Zenone

 

Achille piè veloce insegue la tartaruga che si trova davanti a lui ad una distanza d0. Per raggiungerla Achille dovrà prima percorrere questa distanza, ma intanto la tartaruga avrà percorso un altro tratto d1; e quando Achille avrà percorso questo secondo tratto, la tartaruga avrà percorso un altro tratto d2  e così all’infinito. Pertanto Achille non raggiungerà mai la tartaruga, nonostante sia molto più veloce di lei.

 

Schematizziamo la situazione in questo modo: per semplicità supponiamo che Achille si muova con velocità di 10 m/s e la tartaruga con velocità di 1 m/s (questi valori non sono molto realistici, ma ci permettono di eseguire i calcoli più rapidamente).

All’istante t = 0 secondi, supponiamo che la tartaruga abbia un vantaggio su Achille di 10 metri.

Dopo un secondo Achille ha percorso 10 metri e la tartaruga 1 metro, quindi la tartaruga è in vantaggio su Achille di 1 metro.

Quando Achille avrà percorso questo metro di vantaggio della tartaruga (da lui coperto in 1,1 secondo), la tartaruga ha già percorso1,1 metro e ha un vantaggio su Achille di 0,1 metro; Quando Achille avrà percorso questo 0,1 metro la tartaruga  è già a 1,11 metri e così via.

 

Riassumiamo il tutto in una tabella.

 

Tempo in secondi

Distanza percorsa da Achille in metri

Distanza percorsa dalla tartaruga in metri

0

0

10

1

10

11

1,1

11

11.1

1,11

11.1

11,11

1,111

11.11

11,111

….

….

 

Osserviamo che la tartaruga è sempre in vantaggio su Achille e sembrerebbe che non sia possibile raggiungerla.

 

Sappiamo però dalla legge del moto rettilineo uniforme s = vt + s0 che questo è falso.

 Infatti: legge oraria di Achille           sA  = 10t

            legge oraria della tartaruga    sT  = 1t + 10

Achille raggiungerà la tartaruga quando sA = sT  cioè quando 10t = 1t + 10, risolvendo questa equazione si ottiene t =  secondi.

Dove sta la contraddizione? Il ragionamento di Zenone si fonda essenzialmente sull’ipotesi che, immaginando di proseguire all’infinito, gli ultimi valori della tabella sarebbero infiniti. Eppure abbiamo determinato che Achille raggiunge la tartaruga in un tempo finito.

 

Guardando la tabella si nota che gli intervalli successivi di tempo non sono tutti uguali,ma ogni intervallo è dieci volte più piccolo del precedente. Ci poniamo allora la domanda la somma di infiniti termini può avere valore finito?

La risposta è sì, purché questi termini decrescano abbastanza rapidamente.

Infatti sommiamo tutti i tempi   (1,1 periodico)

Dalla formula della scuola media che permette di passare da un numero decimale periodico a una frazione abbiamo  che è lo stesso risultato cinematico che abbiamo precedentemente trovato.

La dimostrazione della formula della scuola media può essere fatta solo in quinta liceo dopo aver studiato l’analisi e aver fatto le serie numeriche. Le serie numeriche sono somme di infiniti termini che possono essere finite, infinite o oscillanti.

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3 commenti»

  peppe89 wrote @

Ciao ho letto il tuo articolo tramite tag surfer.

Be che dire…. I paradossi di Zenone…..

Quest’anno alla maturità ho portato come percorso per l’orale il tema del paradosso e ho inserito anche i paradossi di Zenone ( programma del terzo anno)

Mi vorrei soffermare sulla risoluzione matematica di un altro paradosso. ( se lei me lo permette)

Il Paradosso è il seguente (copio da libro di testo):

“Si pretende che un corpo possa, muovendo da un punto di partenza, giungere ad un termine stabilito. E, invece, non è possibile. Infatti tale corpo, prima di raggiungere la meta , dovrebbe percorrere la metà della strada che deve percorrere, e prima ancora la metà della metà, […] e così via all’infinito…”
Il corpo quindi deve percorrere infinite metà e per fare questo impiega un tempo infinito.
Conclusione il movimento è impossibile.

Matematicamente:

Il corpo deve percorrere un tratto AB, partendo da A, prima di giungere in B passa per il punto medio M di AB, a questo punto partendo da M, prima di arrivare in B passerà per il punto medio N di MB e così via….

quindi supponendo che il segmento AB misuri 1 passa per i punti:

M= 1/2
N=1/2*1/2=1/4
P=1/2*1/2*1/2=1/8
….

Possiamo quindi costruire una funzione così impostata:

F(x): N -> R
y= 1/2^n

Il paradosso sta nel fatto che il corpo non raggiungerà mai B perchè ci sarà sempre una minima distanza tra il nuovo punto medio e il punto B, anche ripetendo il procedimento all’infinito.

Matematicamente il limite per X tendente a infinito della funzione F(x) prima trovata è pari a 0, ovvero il paradosso non sussiste.

P.S.: vedo che questo è un blog appena aperto, il tuo inteno di parlare di filosofia mi interessa, passa dalle mie parti se ti va

http://peeee.worpress.com

a, ti aggiungo nel mio blogroll

  daemonia wrote @

per me la matematica è arabo! 😆

  riccardo wrote @

La matematica è arabo anche per me.
Così, vorrei rimarcare anche ( peraltro molto semplicemente) che il paradosso di Zenone presenta interessanti implicazioni filosofiche.
Esiste senz’altro la possibilità, come risulta dal post, di sviluppare un discorso anche matematico.
Tuttavia vorrei far notare come il fascino appunto di tale paradosso consista soprattutto nella dialettica movimento-non movimento… che pare possa condurre alla negazione del movimento stesso.
In tal modo, si può discutere delle “possibilità” stesse del reale e della logica… nonchè della loro validità e dei loro limiti.
Ciao.


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